离散三角变换DTT和离散余弦变换DCT？

DCT就有很多種形態了

形式上來看，離散餘弦變換一個線性的可逆函數${\displaystyle F:R^{n}\rightarrow R^{n}}$其中R是實數集，或者等價的說一個${\displaystyle n\times n}$的方陣。離散餘弦變換有幾種變形的形式， 它們都是根據下面的某一個公式把${\displaystyle n}$個實數${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n-1}}$變換到另外${\displaystyle n}$個實數${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{n-1}}$的操作。

DCT-I

${\displaystyle f_{m}={\frac {1}{2}}(x_{0}+(-1)^{m}x_{n-1})+\sum _{k=1}^{n-2}x_{k}\cos \left[{\frac {\pi }{n-1}}mk\right]}$

有些人認為應該將${\displaystyle x_{0}}$和${\displaystyle x_{n-1}}$乘以${\displaystyle {\sqrt {2}}}$，相應的將${\displaystyle f_{0}}$和${\displaystyle f_{n-1}}$乘以${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$。這樣做的結果是這種DCT-I矩陣變為了正交矩陣（再乘一個係數的話），但是這樣就不能直接和一個實偶離散傅立葉變換對應了。

一個${\displaystyle n=5}$的對實數abcde的DCT-I型變換等價於一個8點的對實數abcdedcb（偶對稱）的DFT變換，結果再除以2（對應的，DCT-II~DCT-IV相對等價的DFT有一個半個抽樣的位移）。需要指出的是，DCT-I不適用於${\displaystyle n<2}$的情況（其它的DCT類型都適用於所有的整數n）。

所以，DCT-I暗示的邊界條件是：${\displaystyle x_{k}}$相對於${\displaystyle k=0}$點偶對稱，並且相對於${\displaystyle k=n-1}$點偶對稱； 對${\displaystyle f_{m}}$的情況也類似。

DCT-II

${\displaystyle f_{m}=\sum _{k=0}^{n-1}x_{k}\cos \left[{\frac {\pi }{n}}m\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]}$

DCT-II大概是最常用的一種形式，通常直接被稱為DCT。

有些人更進一步的將${\displaystyle f_{0}}$再乘以${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$（參見下面的DCT-III型的對應修改）。這將使得DCT-II成為正交矩陣（再乘一個係數的話），但是這樣就不能直接和一個有半個抽樣位移的實偶離散傅立葉變換對應了。

所以，DCT-II暗示的邊界條件是：${\displaystyle x_{k}}$相對於${\displaystyle k=-{\frac {1}{2}}}$點偶對稱，並且相對於${\displaystyle k=n-{\frac {1}{2}}}$點偶對稱； 對${\displaystyle f_{m}}$相對於${\displaystyle m=0}$點偶對稱，並且相對於${\displaystyle m=n}$點奇對稱。

DCT-III

${\displaystyle f_{m}={\frac {1}{2}}x_{0}+\sum _{k=1}^{n-1}x_{k}\cos \left[{\frac {\pi }{n}}\left(m+{\frac {1}{2}}\right)k\right]}$

因為這是DCT-II的逆變換（再乘一個係數的話），這種變形通常被簡單的稱為逆離散餘弦變換。

有些人更進一步的將${\displaystyle x_{0}}$再乘以${\displaystyle {\sqrt {2}}}$（參見上面的DCT-II型的對應修改），這將使得DCT-III成為正交矩陣（再乘一個係數的話），但是這樣就不能直接和一個結果有半個抽樣位移的實偶離散傅立葉變換對應了。

所以，DCT-III暗示的邊界條件是：${\displaystyle x_{k}}$相對於${\displaystyle k=0}$點偶對稱，並且相對於${\displaystyle k=n}$點奇對稱； 對${\displaystyle f_{m}}$相對於${\displaystyle m=-{\frac {1}{2}}}$點偶對稱，並且相對於${\displaystyle m=n-{\frac {1}{2}}}$點奇對稱。

DCT-IV

${\displaystyle f_{m}=\sum _{k=0}^{n-1}x_{k}\cos \left[{\frac {\pi }{n}}\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]}$

DCT-IV對應的矩陣是正交矩陣（再乘一個係數的話）。

一種DCT-IV的變形，將不同的變換的數據重疊起來，被稱為改進的離散餘弦變換。

DCT-IV暗示的邊界條件是：${\displaystyle x_{k}}$相對於${\displaystyle k=-{\frac {1}{2}}}$點偶對稱，並且相對於${\displaystyle k=''n''-1/2}$點奇對稱；對${\displaystyle j}$類似。

DCT V~VIII

上面提到的DCT I~IV是和偶數階的實偶DFT對應的。原則上，還有四種DCT變換（Martucci, 1994）是和奇數階的實偶DFT對應的，它們在分母中都有一個${\displaystyle ''n''+1/2}$的係數。但是在實際應用中，這幾種變型很少被用到。

最平凡的和奇數階的實偶DFT對應的DCT是1階的DCT（1也是奇數），可以說變換隻是乘上一個係數${\displaystyle a}$而已，對應於DCT-V的長度為1的狀況。

另外有實際論文使用在處理圖片上DCT vs DTT

http://cf04.ickimg.com/bbsfiles/201705/b55ce31c6594ae9c3fb547995a4aa21c.pdf

以上供您參考